Vecteurs et processus gaussiens
Ce chapitre est largement indépendant de ce qui précède, même si le mouvement brownien y apparaît comme exemple privilégié, et si la théorie des martingales et des surmartingales développée dans le Chapitre 3 joue un rôle important. Notre but est de donne
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Th´eorie g´en´erale des processus de Markov
R´esum´e Ce chapitre est largement ind´ependant de ce qui pr´ec`ede, mˆeme si le mouvement brownien y apparaˆıt comme exemple privil´egi´e, et si la th´eorie des martingales et des surmartingales d´evelopp´ee dans le Chapitre 3 joue un rˆole important. Notre but est de donner une introduction concise aux grandes id´ees de la th´eorie des processus de Markov a` temps continu. Nous nous concentrons assez vite sur le cas des processus de Feller, et introduisons dans ce cadre la notion de g´en´erateur, qui permet d’attacher a` un processus de Markov une famille importante de martingales. Nous e´ tablissons les th´eor`emes de r´egularit´e pour les processus de Feller comme cons´equence des r´esultats analogues pour les surmartingales. Nous discutons ensuite la propri´et´e de Markov forte, et nous terminons en pr´esentant bri`evement deux classes de processus de Feller, les processus de L´evy et les processus de branchement continu.
6.1 D´efinitions g´en´erales et probl`eme d’existence Soit (E, E ) un espace mesurable. Un noyau markovien de transition de E dans E est une application Q : E × E −→ [0, 1] qui poss`ede les deux propri´et´es : (i) Pour tout x ∈ E, l’application A 7→ Q(x, A) est une mesure de probabilit´e sur E. (ii) Pour tout A ∈ E , l’application x 7→ Q(x, A) est mesurable. Dans la suite nous dirons simplement noyau au lieu de noyau markovien. Remarque. Si f : E −→ R est mesurable born´ee (resp. positive), l’application Q f d´efinie par Z Q f (x) =
Q(x, dy) f (y)
est aussi mesurable born´ee (resp. positive) sur E. D´efinition 6.1. Une famille (Qt )t≥0 de noyaux de transition sur E est un semigroupe de transition si elle satisfait les trois propri´et´es suivantes.
J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Math¯matiques et Applications 71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_6, Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
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6 Th´eorie g´en´erale des processus de Markov
(i) Pour tout x ∈ E, Q0 (x, dy) = δx (dy). (ii) Pour tous s,t ≥ 0 et A ∈ E , Z
Qt+s (x, A) =
E
Qt (x, dy) Qs (y, A)
(relation de Chapman-Kolmogorov). (iii) Pour tout A ∈ E, l’application (t, x) 7→ Qt (x, A) est mesurable pour la tribu B(R+ ) ⊗ E . Remarque. Dans le cas o`u E est d´enombrable ou fini (et muni de la tribu de toutes les parties de E), Qt est caract´eris´e par la donn´ee de la “matrice” (Qt (x, {y}))x,y∈E . Soit B(E) l’espace vectoriel des fonctions mesurables born´ees sur E, qui est muni de la norme k f k = sup{| f (x)| : x ∈ E}. Alors l’application B(E) 3 f 7→ Qt f est une contraction de B(E). Avec ce point de vue, la relation de Chapman-Kolmogorov e´ quivaut a` l’identit´e d’op´erateurs Qt+s = Qt Qs ce qui permet de voir (Qt )t≥0 comme un semigroupe de contractions de B(E). On se donne maintenant un espace de probabilit´e filtr´e (Ω , F , (Ft )t∈[0,∞] , P). D´efinition 6.2. Soit (Qt )t≥0 un semigroupe de transition sur E. Un processus de Markov (relativement a` la filtration (Ft )) de semigroupe (Qt )t≥0 est un processus (Ft )-adapt´e (Xt )t≥0 a`
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