Grundlagen der Geometrie
Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtlic
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GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE VON
DR. DAVID HILBERT O. PROFESSOR A. D. UNIV. GÖTl'lNGEN
FÜNFTE, DURCH ZUSÄTZE UND U'rERATUR· HINWEISE, VON NEUEM VERMEHRTE UND MIT SIEBEN ANHÄNGEN VERSEHENE AUFLAGE MIT ZAHLREICHEN IN DEN TEXT GEDRUCKTEN FIGUREN
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1922
Vorwort. Die vorliegende 5. Auflage ist ein anastatischer Nachdruck der 4. Auflage. Ich habe mich darauf beschränkt, zum Schluß S. 259-265 einige wenige Zusätze und notwendige Berichtigungen hinzuzufügen, für deren Ausarbeitung ich insbesondere P. B ern ays zu herzlichstem Dank verpflichtet bin.
Hilbert.
ISBN 978-3-663-15383-2 ISBN 978-3-663-15954-4 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-15954-4 SCHUTZFORMEL FÜR DIE VEREINIGTEN STAATEN VON AMERIKA:
Copyright 1922 by Springer Facbrnedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner in Leipzig 1922. Softcover reprint ofthe hardcover 5th edition 1922 ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.
Inhalt Seite
Einleitung •
I
Kapitel I: Die fünf Axiomgruppen.
§ I. Die Elemente der Geometrie und die fünf Axiomgruppen § 2. Die Axiomgruppe I: Axiome der Verknüpfung. . . § 3. Die Axiomgruppe II: Axiome der Anordnung. . • § 4. Folgerungen aus den Axiomen der Verknüpfung und der
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3 4
Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 5. Die Axiomgruppe III: Axiome der Kongruenz. . . § 6. Folgerungen aus den Axiomen der Kongruenz. . . § 7. Die Axiomgruppe IV: Axiom der Parallelen (Euklidisches Axiom). . . . . . . . . . . . . . . .
6 9 12 20
§ 8. Die Axiomgruppe V: Axiome der Stetigkeit. . . . • .
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Kapitel 1I: Die Widerspruchlosigkeit und gegenseitige Unabhängigkeit der Axiome.
§ 9. Die Widerspruchslosigkeit der Axiome . . . • . • . . § 10. Die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms (Nicht-Euklidische
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Geometrie) ..•..............•. Die Unabhängigkeit der Kongruenzaxiome . . . . . . . Die Unabhängigkeit der Stetigkeitsaxiome (Nicht-Archimedische Geometrie) . . . . . . . . . . . . . "
28 29
§ §
11. 12.
31
Kapitel III: Die Lehre von den Proportionen.
§ § § § §
13. 14. 15. 16. 17.
Komplexe Zahlensysteme . . . . . . . . . . . Beweis des Pascalsehen Satzes. . . . . . . . . Die Streckenrechnung auf Grund des Pascalschen Die Proportionen und die Ähnlichkeitssätze Die Gleichungen der Geraden und Ebenen. . . .
.• .• Satzes . . .
34 36 43 47 49
Kapitel IV: Die Lehre von den Flächeninhalten in der Ebene.
§ 18. DieZerlegungsgleichheit undinhaltsgleichheit von Polygonen § 19. Parallelogramme und Dreiecke mit gleicher Grundlinie § §
und Höhe. . . . . . . . . . • . . • . • . Das Inhaltsmaß von Dreiecken und Polygonen. 21. Die Inhaltsgleichheit und das Inhaltsmaß . . .
53 55 57 60
20.
1*
Inhalt
IV
Seite
Kapitel V: Der Desarguessche Satz.
§ 22. Der Desarguessche Satz und der Beweis desselben in der
Ebene mit Hilfe. der Kongruenzaxio~e . • . • . • • .
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Ebene ohne Hilfe der Kongruenzaxiome. . . • • • • . Einfiihrung einer Streckemechnung ohne Hilfe der Kon· gruenzaxiome auf Grund des Desarguesschen Satzes. • • Das kommuta
