Topologie
Die Topologie ist ein recht junges Gebiet derMathematik, das um die vorletzte Jahrhundertwende mit Konzepten aus Mengenlehre, Geometrie und Analysis entstand. Eine entscheidende Rolle kommt hierbei insbesondere den Werken von Poincaré (1854–1912) und Haus
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Schöne Sätze der Mathematik Ein Überblick mit kurzen Beweisen
Schöne Sätze der Mathematik
Jörg Neunhäuserer
Schöne Sätze der Mathematik Ein Überblick mit kurzen Beweisen
Jörg Neunhäuserer Goslar, Deutschland
ISBN 978-3-642-54689-1 DOI 10.1007/978-3-642-54690-7
ISBN 978-3-642-54690-7 (eBook)
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bianca Alton Redaktion: Dr. Michael Zillgitt Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-spektrum.de
Vorwort
In diesem Buch geben wir mit kurzen Beweisen einen Überblick über schöne Sätze der reinen Mathematik. Das Buch enthält Sätze aus den unterschiedlichsten Gebieten der Mathematik; speziell beschreiben und beweisen wir Sätze aus der Mengenlehre, der diskreten Mathematik, ferner aus Geometrie, Analysis, Topologie, Algebra und Zahlentheorie sowie aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Theorie dynamischer Systeme. Der Leser findet insgesamt 164 Sätze aus über 2500 Jahren Mathematikgeschichte, von denen 60 in der Liste „The Hundred Greatest Theorems of Mathematics“ von Abad (1999) enthalten sind. Bis zu einem gewissen Grad bestimmen persönliche Vorlieben die Auswahl der Sätze in diesem Buch. Es gibt keine vollkommen objektiven Kriterien, die einen wahren mathematischen Satz zu einem schönen Satz machen. Uns scheinen Einfachheit und Originalität gute Leitlinien zu sein. Wie über die Schönheit eines Satzes lässt sich aber auch über seine Einfachheit oder Originalität trefflich streiten. Wir hoffen trotzdem, dass der Leser in den meisten Fällen mit unserer Meinung, dass die ausgewählten Sätze tatsächlich schön sind, übereinstimmt. Wir haben ausschließlich Sätze in das Buch aufgenommen, für die wir in der Lage sind, einen kurzen Beweis aufzuschreiben. „Kurz“ bedeutet dabei, dass die Länge des Beweises eine Buchseite nicht erheblich überschreitet. Selbstredend gibt es zahlreiche Sätze der Mathematik, die fraglos schön sind, für die wir aber keinen kurzen (und vielleicht noch nicht einmal einen schönen) Beweis haben. Man denke n
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